Divertimentos Geométricos

Sólidos Platônicos

Elaborado por:

Carmen Rosa Giraldo Vergara

Fabio Enrique Brochero Martínez

Sumário

• Apresentação
• Sólidos Platônicos
  • 1.1 Porque somente 5 Sólidos Perfeitos?
• 1.2 Construção de “Polígonos de Encaixe”
  • 1.2.1 Triângulos de encaixe
  • 1.2.2 Quadrados e Pentágonos de encaixe
• 1.3 Uma proposta para sala de aula
  • 1.3.1. Montando o Tetraedro
  • 1.3.2 Montando o Octaedro
  • 1.3.3 Montando o Cubo
  • 1.3.4 Montando o Icosaedro
  • 1.3.5 Montando o Dodecaedro
• Referências Bibliográficas
• Moldes

Lista de Figuras

• Figura 1: Retrato de Leonhard Paul Euler
• Figura 2: Exemplo de mapa plano
• Figura 3: Grafo plano
• Figura 4: Confeccionando os Triângulos de Encaixe
• Figura 5: Construção dos cortes de encaixe
• Figura 6: "Peça Triangular" (a) e Polígono de Reuleaux (b).
• Figura 7: “Peças Quadrada e Pentagonal”

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Este material é um produto do projeto:

Educação científica em museus: desenvolvimento do pensamento científico, crítico e criativo na imersão dos acervos universitários da UFMG

O projeto visa promover a educação científica e o treinamento científico para visitantes da comunidade em geral, professores e estudantes da educação básica, por meio de experiências imersivas nos acervos da Rede de Museus da UFMG (Universidade Federal de Minas Gerais), com o apoio da FAPEMIG. A justificativa para a realização do projeto é a importância da divulgação científica e da utilização de espaços não formais, como museus e centros culturais, para a educação científica da população.

A equipe responsável pelo projeto é composta por docentes e servidores técnico-administrativos especializados, com diferentes formações e experiência na área de divulgação científica, educação museal e gestão de acervos. A equipe utilizará as instalações e equipamentos dos próprios espaços da Rede de Museus, bem como de outras unidades acadêmicas da UFMG, para a execução das atividades propostas.

O público-alvo do projeto inclui a comunidade em geral e, especialmente, professores e estudantes da educação básica. Serão oferecidos roteiros temáticos e visitas adaptadas visando estimular o desenvolvimento cognitivo, a capacidade crítica e a autonomia dos visitantes. Além disso, serão elaborados materiais didático-pedagógicos de apoio à educação científica e promovidas oficinas para professores do ensino básico.

A longo prazo, o projeto aspira criar uma cultura de visitação a museus e espaços de ciência, promovendo o prazer do aprendizado e a alfabetização científica na sociedade.

Saiba mais sobre o desenrolar deste e outros projetos no site da Rede de Museus, contribua com relatos do uso deste material nas nossas redes e não perca nenhuma atividade, ficando de olho na nossa Agenda Científico-Cultural!

Outras redes: https://linktr.ee/rededemuseus

Em parceria com:

Museu da Matemática da UFMG

Os espaços museológicos nos últimos tempos têm se tornado um potential educativo por reunir, na sua totalidade, experiências, questionamentos e fatos ao mesmo tempo que fazem uma combinação de emoção, percepção, conhecimento e educação pela forma como o museu envolve ao público nas exposições e como são abordados os objetos e conteúdos expostos.

Nesse contexto, o Museu da Matemática UFMG foi criado, em 2018, para promover a Matemática por meio de atividades lúdicas que estimulem o interesse dos visitantes, especialmente dos professores, levando-os a uma reflexão sobre as propostas que passem uma visão positiva do ensino e aprendizagem da Matemática e objetivando difundir a Matemática Recreativa enquanto ferramenta didática.

Desde sua criação, o Museu oferece uma gama de experiências lúdicas e interativas por meio de atividades e oficinas para o público em geral e, especialmente, para alunos do 6º ano do Ensino Fundamental ao 3º ano Ensino Médio, em sua grande maioria da rede pública de ensino. Já para os professores, bem como alunos do ensino superior, o Museu procura se colocar como um centro de apoio por meio da realização de minicursos, oficinas e atividades de treinamento relacionadas ao seu acervo e a propostas pedagógicas.

Entre as atividades desenvolvidas no Museu encontra-se a apresentação de quebra-cabeças geométricos, jogos de tabuleiro, apresentação de fórmulas e teoremas a partir de objetos concretos, desafios que incentivam o uso de procedimentos lógicos, uma exposição sobre Matemática e Arte, além da realização de oficinas como: construção da ponte e cúpulas de Leonardo da Vinci, tensegridades, cartões fractais, hexacoságonos, confecção de caleidociclos, entre outros.

Neste trabalho apresentamos materiais didáticos concretos com os quais é possível trabalhar diversos conceitos geométricos. Cada uma dessas atividades possui suas características e trabalha com habilidades específicas. Isso permite ao professor selecionar, adaptar e explorar os recursos que melhor atendem às demandas envolvidas no processo de ensino-aprendizagem de sua turma. Construímos alguns objetos matemáticos visualmente atraentes visando estimular o interesse dos estudantes de investigar tópicos de Matemática. Cada atividade tem um rico conteúdo matemático e abordam tópicos que incentivam o raciocínio e facilitam o estudo de padrões e simetria, o raciocínio espacial, a resolução de problemas, entre outros.

Em particular apresentamos os sólidos platônicos, explorando sua história e suas características. Disponibilizamos os moldes para sua construção para que assim else podem set reproduzidos por professores e/ou alunos em diversos materiais como cartolina, papelão, EVA, etc., exploramos diversas atividades que podem set usadas em sala de aula em diferentes níveis escolares e damos orientações para sua confecção e utilização.

Incentivamos nossos leitores a enviarem sugestões, relatos sobre a aplicação dessas atividades em sala de aula — o que foi positivo e o que não foi — ou qualquer outro comentário que contribua para o enriquecimento deste material para as próximas edições. Nossos contatos são:

museudamatematicaufmg@gmail.com

http://www.mat.ufmg.br/museu

https://www.instagram.com/mumatufmg

Sólidos Platônicos

Os sólidos perfeitos, também conhecidos como Sólidos Platônicos, são corpos convexos tais que todas as faces são polígonos regulares congruentes e sobre cada vértice incidem a mesma quantidade de polígonos. Else têm uma beleza simétrica que fascinou muitas pessoas ao longo do tempo. Alguns poliedros regulares já eram conhecidos pelos antigos egípcios, que os usavam em sua arquitetura.

Os antigos gregos estudaram esse tipo de figuras exaustivamente. Acredita-se que Pitágoras já conhecia algumas delas, mas Teeteto foi o primeiro que deu uma descrição matemática e mostrou que somente podem existir 5 poliedros com essas características.

Platão escreveu sobre else no diálogo Timeu em 360 a.C., no qual associou quatro deles aos quatro elementos terra, ar, água e fogo. Já Platão deu ao quinto poliedro, o dodecaedro, uma interpretação de organizador das constelações do céu. Por sua vez, Aristóteles interpretou como um quinto elemento, o éter e postulou que os céus eram feitos desses elementos.

1.1 Porque somente 5 Sólidos Perfeitos?

Existe uma infinidade de formas de se desenhar um polígono regular (e convexo) no plano. De fato, para cada número de lados existe um polígono regular convexo correspondente. Por outro lado, se quisermos construir um poliedro regular no espaço, as possibilidades diminuem drasticamente.

Um poliedro regular é um sólido limitado por faces planas (polígonos regulares). Além disso, um poliedro é chamado de convexo quando cada um dos planos que contem uma face deixa todo o sólido do mesmo lado.

Uma das primeiras figuras que pensamos quando falamos de um sólido é um cubo. Isso talvez se deva às características interessantes que vemos nele, das quais podemos listar três:

1. Todas as faces são quadrados.
2. Cada um de seus vértices toca exatamente 3 quadrados.
3. O cubo é um poliedro convexo.

Surge então uma pergunta natural - Quais outros sólidos têm essas mesmas características?, ou seja, quais outros poliedros cumprem que:

1. Todas as faces são polígonos regulares.
2. Em cada um de seus vértices coincidem exatamente a mesma quantidade de polígonos.
3. O sólido é convexo.

A seguir daremos uma explicação matemática e elementar de que existem apenas 5 sólidos perfeitos, também chamados de sólidos platônicos. Observemos primeiramente que:

• Cada vértice deve tocar três ou mais figuras, pois com apenas duas, elas estariam no mesmo plano, assim não formariam um vértice real da figura.
• A soma dos ângulos das figuras que tocam um vértice tem que set menor do que 360º. Pois caso a soma dos ângulos seja maior a figura deixa de set convexa.

Com isso, chegamos às seguintes conclusões:

1. Caso as faces do sólido sejam triângulos equiláteros, então sobre cada vértice do poliedro pode tocar 3, 4 ou 5 triângulos, pois os ângulos internos do triângulo medem 60º e a soma dos ângulos das figuras em um vértice tem que set menor que 360º. (Note que com 6 triângulos equiláteros teremos uma figura plana).
2. Casos as faces sejam quadrados, então o número de polígonos incidindo sobre um vértice teria que set 3, uma que os ângulos internos do quadrado medem 90º. (Note que 4 quadrados também formam uma figura plana).
3. Casos as faces sejam pentágonos regulares, então o número de polígonos tocando um vértice teria que set 3, uma que os ângulos internos do pentágono medem 108º.
4. Como o hexágono regular tem ângulos de 120º e $3\ast 120=300$, então é impossível usar 3 ou mais deles em um vértice, pois nesse caso a soma dos ângulos dos polígonos seria maior ou igual que 360º, impossibilitando que o sólido seja convexo.

As condições anteriores limitam quais dos polígonos, podem set usados para construir poliedros regulares, podendo set apenas triângulos equiláteros, quadrados e pentágonos regulares. Agora surge então outra pergunta: quantos poliedros se podem formar com cada uma dessas figuras.

Podemos responder essa pergunta usando uma bela fórmula que relaciona o número de vértices, arestas e faces de um poliedro convexo, conhecida como a “Fórmula de Euler”.

Leonhard Paul Euler nasceu em Basel, Suíça em 1707 e morreu em São Petersburgo, Império Russo em 1783. Foi o matemático mais proeminente do século XVIII e um dos maiores de toda a história.

Figura 1: Retrato de Leonhard Paul Euler

Ele viveu em São Petersburgo (Rússia) e em Berlim (Prússia) durante a maioria de sua vida adulta, e fez importantes contribuições a diversas áreas da Matemática, entre elas, Teoria dos Números, Geometria, Cálculo, Álgebra e Probabilidade. Euler também teve relevantes trabalhos nos campos da Mecânica, Ótica e Astronomia. Foi responsável pelo nascimento da Teoria de Grafos, resolvendo o problema das sete pontes de Königsberg, e deixou sua marca na Matemática Recreativa.

Euler é considerado uma das pessoas com maior número de trabalhos e artigos em diversas áreas do conhecimento, comparável apenas a Gauss. Ele publicou uma média de 800 páginas de artigos por ano no período de 1727 a 1783, e grande parte de sua obra era inédita. À produção de Euler não só trouxe uma Matemática nova, como também muita da nomenclatura moderna. O famoso $\pi$ foi uma das notações introduzidas e popularizadas por Euler.

De volta aos sólidos convexos, Euler descobriu, em 1750, que para esse tipo de sólidos a seguinte relação é sempre verdadeira:

Relação de Euler: Dado um poliedro, não necessariamente regular, mas sem buracos, se denotamos por $V$ o número de vértices, $A$ o número de arestas e $F$ o número de faces do poliedro, então estes três números estão relacionados pela fórmula:

$V+F-A=2.$

Esta fórmula também vale para qualquer mapa plano, isto é, nas quais as fronteiras não se cruzam em nenhum ponto além dos vértices. Consideremos, por exemplo, o seguinte mapa:

Figura 2: Exemplo de mapa plano

Nele o número de arestas é $A=9$, o número de vértices é $V=6$ e else dividem todo o plano em cinco regiões (contando a parte externa), desta forma $F=5$.

Assim temos que $V+F-A=6+5-9=2$, satisfazendo então a Fórmula de Euler. Neste caso o mapa do exemplo esta formado por, três triângulos, um quadrilátero e a outra exterior é o complemento de um pentágono (que chamaremos simplesmente de pentágono). Consideremos agora o mapa da Figura 3:

Figura 3: Grafo plano

Podemos observar que novamente a Fórmula de Euler é válida!

De fato, esse mapa tem 15 arestas, 11 vértices e 6 faces (2 triângulos, 1 pentágono, 2 hexágonos e a região externa), e assim $V+FA=11+6-15=2$.

Para pensar:

1. É possível construir um mapa plano, que seja formado por 5 triângulos, 2 quadriláteros e 2 pentágonos? Justifique sua resposta.
2. Quantos vértices têm um mapa plano formado por 6 triângulos, 1 quadrilátero e 2 pentágonos?

Observemos que nos exemplos anteriores sobre mapas, desconsideramos a exigência de que as figuras fossem regulares. Isto é, a Fórmula de Euler não considera outros fatores geométricos, e unicamente se atenta às relações de fronteira comum e à incidência nos vértices. Para o estudo de poliedros regulares, adicionaremos essas propriedades geométricas, assim reduzimos drasticamente o número de casos a set considerados.

Para isso, primeiro vamos supor que em um vértice do poliedro incidem $n$ triângulos (lembrando que $n$ pode set 3, 4 ou 5).

No caso $n=3$, de cada vértice same 3 arestas, e cada aresta tem dois vértices em seus extremos. Isso significa que $V$ e $A$ cumprem a relação:

$3V=2A$

Da mesma forma, cada face tem 3 lados (arestas), e cada aresta é compartilhada por 2 triângulos. Logo $A$ e $F$ satisfazem a relação:

$3F=2A$.

Multiplicando a relação de Euler por 3 e substituindo $V$ e $F$ nessa fórmula obtemos que:

$6=3V+3F-3A=2A+2A-3A=A$.

Logo a figura terá 6 arestas, e, portanto, 4 faces e 4 vértices. Esta figura é chamada de Tetraedro Regular.	Tetraedro

No caso $n=4$, de cada vértice same 4 arestas, e cada aresta tem dois vértices em seus extremos.

Isso significa $V$ e $A$ cumprem a relação:

$4V=2A$.

Da mesma forma cada face tem 3 lados (arestas) e cada aresta é compartilhada por 2 triângulos. Logo $A$ e $F$ satisfazem a relação:

$3F=2A$.

Multiplicando a relação de Euler por $6$ e substituindo $V$ e $F$ nessa fórmula obtemos que:

$12=6V+6F-6A=3A+4A-6A=A$.

Logo a figura terá 12 arestas, e, portanto, 8 faces e 6 vértices. Esta figura é chamada de Octaedro Regular.	Octaedro

No caso $n=5$, de cada vértice same 5 arestas, e cada aresta tem dois vértices em seus extremos.

Isso significa $V$ e $A$ cumprem a relação:

$5V=2A$.

Da mesma forma cada face tem 3 lados (arestas) e cada aresta é compartilhada por 2 triângulos. Logo $A$ e $F$ satisfazem a relação:

$3F=2A$.

Multiplicando a relação de Euler por $15$ e substituindo $V$ e $F$ nessa fórmula obtemos que:

$30=15V+15F-15A=6A+10A-15A=A$

Logo a figura terá 30 arestas, e, portanto, 20 faces e 12 vértices. Esta figura é chamada de Icosaedro Regular.	Icosaedro

No caso das faces serem quadradas, teremos as relações:

$3V=2A$ e $4F=2A$

Multiplicando a relação de Euler por $6$ temos:

$12=6V+6F-6A=4A+3A-6A=A$.

Logo a figura terá 12 arestas, e, portanto, 6 faces e 8 vértices. Esta figura é chamada de Cubo.	Cubo

Finalmente, no caso em que as faces são pentágonos regulares teremos as relações:

$3V=2A$ e $5F=2A$.

Multiplicando a relação de Euler por 15 e substituindo $V$ e $F$ nessa fórmula obtemos que:

$30=15V+15F-15A=10A+6A-15A=A$.

Logo, a figura terá 30 arestas, e, portanto, 12 faces e 20 vértices. Esta figura é chamada de Dodecaedro Regular.	Dodecaedro

Podemos resumir isso na seguinte tabela:

1.2 Construção de “Polígonos de Encaixe”

Nesta seção mostraremos como construir as peças que serão utilizadas para montar os sólidos perfeitos. Estamos anexando nesta cartilha os moldes dessas figuras, mas elas podem set construídas também usando regra e compasso. A seguir mostramos essa construção.

1.2.1 Triângulos de encaixe

Para a construção da figura triangular, é preciso construir primeiro um triângulo equilátero.

Para isso

• Trace um segmento com comprimento igual à medida do lado do triângulo equilátero.
• Coloque a ponta de um compasso num dos extremos do segmento desenhado e a abertura do compasso igual ao comprimento do segmento. Em seguida trace um arco de circunferência, como indicado em vermelho na Figura 4(b), e faça o mesmo procedimento com o outro extremo do segmento. Note que os dois arcos coincidem em um ponto e a distância desse ponto a cada um dos extremos é igual ao comprimento do segmento desenhado inicialmente. Este ponto será o terceiro vértice de nosso triângulo equilátero.
• Trace os outros dois segmentos para obter o triângulo equilátero.
• Trace um terceiro arco como indicado em verde na Figura 4(c) usando a mesma abertura do compasso usada anteriormente, e desta vez, com centro no terceiro vértice.

(a)	(b)	(c)

Figura 4: Confeccionando os Triângulos de Encaixe

• Trace, desde cada vértice, uma linha perpendicular ao lado oposto, como mostrado na Figura 5(a).
• Marque o ponto médio do segmento limitado entre cada arco e os lados, como mostrado na Figura 5(b).
• Com centro em cada um desses pontos trace meia circunferência tangente tanto ao lado do triângulo como ao arco (veja Fig. 5(c)).

(a)	(b)	(c)

Figura 5: Construção dos cortes de encaixe

A peça construída nesse processo fica como mostrado na Figura 6(a). O polígono que esta peça representa é o exemplo mais simples dos chamados polígonos de Reuleaux. Esses polígonos têm a propriedade de serem curvas de largura constante, isto é, a distância entre qualquer par de retas tangentes paralelas é sempre a mesma.

Essas figuras serão usadas para montar três poliedros: Tetraedro, Octaedro e Icosaedro. Para a construção de cada um deles precisaremos respectivamente 4, 8 e 20 triângulos de encaixe.

(a)	(b)

Figura 6: "Peça Triangular" (a) e Polígono de Reuleaux (b).

1.2.2 Quadrados e Pentágonos de encaixe

Análoga à construção das peças triangulares, se constroem as peças quadradas e pentagonais, como mostrado na Figura 7, para construir o Cubo e o Dodecaedro respectivamente. Sugerimos que as abas construídas sobre os lados do quadrado e do pentágono tenham o mesmo tamanho que as abas construídas sobre os lados do triângulo. Isso permitirá a elaboração de outros projetos tais como primas, antiprismas e alguns Sólidos Arquimedianos.

(a)	(b)

Figura 7: “Peças Quadrada e Pentagonal”

1.3 Uma proposta para sala de aula

A seguir, apresentamos a construção de alguns objetos matemáticos tangíveis e visualmente atraentes para estimular o interesse dos estudantes. Tratam-se de atividades com materiais didáticos concretos com os quais é possível trabalhar diversos conceitos matemáticos. Cada uma dessas atividades possui suas características e trabalha com habilidades específicas. Isso permite ao professor selecionar, adaptar e explorar os recursos que atendem melhor às demandas envolvidas no processo de ensino-aprendizagem.

O uso desta atividade é justificado não somente pela curiosidade natural que ela desperta, como também pelo fato de proporcionar o desenvolvimento de habilidades geométricas (plano-espaciais). Nesse contexto, ela deve set explorada para além da simples “montagem de peças”. Esta atividade fornece um rico material que pode set usado em sala de aula, sendo um interessante “quebra-cabeça lógico” e um ótimo exercício na resolução de problemas e no aprimoramento do raciocínio espacial e no reconhecimento de padrões geométricos e coloridos. Além da sua interdisciplinaridade com a arte, arquitetura e temas de Matemática de nível superior.

Construído a partir de compasso ou seguindo os moldes disponibilizados ao fim desta apostila. As peças devem set reproduzidas em cartolina, ou papel de uma gramatura semelhante à da cartolina. Após reproduzidas, é preciso recortá-las. Em seguida, marcar uma dobra sobre os lados do triângulo, quadrado ou pentágono. Finalmente recortar os pequenos arcos de circunferência das abas e as peças estarão prontas.

1.3.1. Montando o Tetraedro

O Tetraedro é um poliedro com 4 faces, 6 arestas e 4 vértices, nas quais cada um dos vértices se tocam três triângulos. Para a construção do Tetraedro são utilizadas 4 peças triangulares.

	Encaixe as abas das 4 peças como indicado na figura ao lado.
Em seguida encaixe os triângulos laranja e azul e finalmente encaixe as abas dos triângulos azul, laranja e amarelo formando assim o tetraedro.

1.3.2 Montando o Octaedro

O Octaedro é um poliedro com 8 faces triangulares, 12 arestas e 6 vértices, no qual cada um dos vértices toca quatro triângulos. Para a construção do octaedro são utilizadas 8 peças triangulares.

	Encaixe quatro peças triangulares de tal forma que fiquem com um vértice em comum formando assim uma pirâmide.
Repita esse processo para a construção de uma segunda piramide como mostrado na figura ao lado.
	Finalmente encaixe as abas das duas piramides formando assim o octaedro.

1.3.3 Montando o Cubo

O cubo possui 6 faces quadradas, 12 arestas e 8 vértices, no qual cada um de seus vértices toca três quadrados. Para a construção do Cubo são utilizadas 6 peças quadradas.

	Encaixe as abas de 3 peças quadradas como indicado na figura ao lado.
Repita o procedimento anterior para obter duas figuras como as da imagem ao lado.
	Finalmente encaixe as abas das duas figuras obtidas no passo anterior formando assim o Cubo.

1.3.4 Montando o Icosaedro

O Icosaedro possui 20 faces triangulares, 30 arestas e 12 vértice, no qual cada vértice toca cinco triângulos. Para a construção do Icosaedro são utilizadas 20 peças triangulares e em cada um de seus vértices são encaixados 5 triângulos.

	Encaixe cinco peças triangulares de tal forma que fiquem com um vértice em comum.
Encaixe uma peça triangular em cada “borda” da figura obtida no passo anterior.
	Repita o procedimento para obter outra figura igual à figura acima.
	Finalmente encaixe as abas das duas figuras formando assim o Icosaedro.

1.3.5 Montando o Dodecaedro

O Dodecaedro possui 12 faces pentagonais, 30 arestas e 20 vértices, no qual cada um de seus vértices toca três pentágonos. Para a construção do Dodecaedro serão utilizadas 12 peças pentagonais.

	Encaixe 5 peças pentagonais nas abas de um sexto pentágono como indicado na figura ao lado.
Repita o procedimento com as outras 6 peças pentagonais para obter duas figuras como ao lado.
	Encaixe as duas figuras obtidas anteriormente e finalmente teremos montado o Dodecaedro.

Referências Bibliográficas

[1] BROCHERO, F; GIRALDO, C. Manual de Atividades T - Museu da Matemática UFMG. http://www.mat.ufmg.br/museu/wp-content/uploads/2019/08/ManualEBook.pdf, 2019.

[2] BROCHERO, F; GIRALDO, C. Manual de Atividades HH - Museu da Matemática UFMG. https://www.mat.ufmg.br/museu/wp-content/uploads/2020/05/Cartilha2pagina.pdf

[3] FREDERICKSON, G. Dissections: Plane & Fancy. Cambridge University Press, 1997.

[4] GARDNER, M. Divertimentos Matemáticos. Ibrasa, 1967.

Moldes

Material disponibilizado digitalmente no âmbito do Projeto Educação científica em museus: desenvolvimento do pensamento científico, crítico e criativo na imersão dos acervos universitários da UFMG em jul/23.

Versão elaborada em markdown e mathjax.